压缩算法zigzag
作者： 简单的老王 SimpleMain
小而巧的数字压缩算法：zigzag¶
阅读facebook开源的RPC（Remote Procedure Call）框架thrift源代码的时候，本来是在阅读框架，却不小心被zigzag这个钻石般闪耀的代码吸引。后来去百度搜索zigzag，却得到满屏图像相关的一个算法（看来起名字得有特点才行）。既然相关资料很少，而算法又这么有趣，老王就想要不写一篇这个算法的文章，分享给大家。
这个算法的java代码放在thrift的org.apache.thrift.protocol.TCompactProtocol类里，数据传输的时候用做数字的压缩，以减少数据的传输量。
为了写好这篇文章，同时方便大家阅读，老王把这个算法从thrift框架中摘离出来，清理了与算法无关的东西，然后用C语言重新实现了一遍，在文章末尾会完整的贴出来，大家可以围观。
好了，开始正题，跟老王一起来吧~
在聊这个算法之前，我们得先补补课，聊聊进制、补码相关的东东。
1**、进制**
这个内容是作为码工挣钱最基础的知识之一。所谓进制，全称是进位制，就是当某一个位上的信息满了，需要往前进位。比如，某一位上的信息只能容纳十个，超过十个就往前进一位，则是逢十进一的十进制；如果逢二进一，则是二进制；等等。进制之间是可以转换的，比如十进制的10 等于 二进制的1010, 也等于十六进制的A，通常写作：(10)10 = (1010)2 = (A)16。
我之前看一本书就讲现在为什么大家通用的是十进制。一个比较有趣的答案说，因为人类只有10个手指头，数数的时候，挨个儿数过去刚好十个数，所以十进制自然而然成为默认的进制。如果人类是12个手指头，说不定就是十二进制了。
后来计算机的出现，一个数据的有无是最天然的信息承载单元，所以由0-1组成的二进制很天然的成为计算机的进制方式。在此基础上，为方便信息的传递，又采用了八进制、十六进制等进制。
好了，因为大家对进制这个东东其实也是比较了解，我就不多扯了，就先说到这儿。
2**、补码**
我们对一个十进制的正整数可以采用相关算法，得到他对应的二进制编码，比如：(10)10 = (1010)2 。不过，如果我们要表示负整数，怎么办呢？在计算机的世界里，我们就定义了原码、反码和补码这几个东东。
为了描述简单，我们都假设我们的数字用一个字节（1Byte=8bits）来表示。
A、原码
我们用第一个位表示符号（0为非负数，1为负数），剩下的位表示值。比如：
[+8] = [00001000]原
[-8] = [10001000]原
B、反码
我们用第一位表示符号（0为非负数，1为负数），剩下的位，非负数保持不变，负数按位求反。比如：
[+8] = [00001000]原 = [0000 1000]反
[-8] = [10001000]原 = [1111 0111]反
如果我们用原码或者补码来表示整数的二进制，有什么问题么？表面上看，似乎挺好的。不过仔细思考就会发现两个问题：
第一、0居然用两个编码（+0和-0）来表示了：
原码：[0000 0000]原 = [1000 0000]原
反码：[0000 0000]反 = [1111 1111]反
第二、计算机要理解符号位的存在，否则符号位参与运算，就会出现诡异的现象：
原码：
1 + （-1）
= [00000001]原 + [1000 0001]原
= [10000010]原
= -2
明显是不对的！
反码：
1 + （-1）
= [00000001]反 + [1111 1110]反
= [1111 1111]反
= -0
表现的好诡异！
为了解决这些问题，我们在计算机体系中引入了补码。
C、补码
我们用第一位表示符号（0为非负数，1为负数），剩下的位非负数保持不变，负数按位求反末位加一。
[+8] = [00001000]原 = [0000 1000]补
[-8] = [10001000]原 = [1111 1000]反
那我们再看看，把符号放进去做运算会有什么样的效果呢？
1 + （-1）
= [00000001]补 + [1111 1111]补
= [0000 0000]补
= 0
很明显，通过这样的方式，计算机进行运算的时候，就不用关心符号这个问题，而只需要按照统一的逢二进一的原则进行运算就可以了。
好了，脑补了进制和补码以后，我们就可以进入正题了。
3**、zigzag**
在绝大多数情况下，我们使用到的整数，往往是比较小的。比如，我们会记录一个用户的id、一本书的id、一个回复的数量等等。在绝大多数系统里面，他们都是一个小整数，就像1234、1024、100等。
而我们在系统之间进行通讯的时候，往往又需要以整型（int）或长整型（long）为基本的传输类型，他们在大多数系统中，以4Bytes和8Bytes来表示。这样，为了传输一个整型（int）1，我们需要传输00000000_00000000_00000000_00000001 32个bits，除了一位是有价值的1，其他全是基本无价值的0（此处发出一个声音：浪！费！啊！）。
那怎么办呢？牛逼的工程师想出了一个小而有趣的算法：zigzag！
这个算法具体的思想是怎么样的呢？
对于正整数来讲，如果在传输的时候，我们把多余的0去掉（或者是尽可能去掉无意义的0），传输有意义的1开始的数据，那我们是不是就可以做到数据的压缩了呢？那怎么样压缩无意义的0呢？
答案也很简单，比如：00000000_00000000_00000000_00000001这个数字，我们如果能只发送一位1或者一个字节00000001，是不是就将压缩很多额外的数据呢？
当然，如果这个世界只有正整数，我们就会很方便的做到这一点。可惜，他居然还有负数！！！负数长什么样呢？(-1)10 = (11111111_11111111_11111111_11111111)补，前面全是1，你说怎么弄？！
zigzag给出了一个很巧的方法：我们之前讲补码讲过，补码的第一位是符号位，他阻碍了我们对于前导0的压缩，那么，我们就把这个符号位放到补码的最后，其他位整体前移一位：
(-1)10
=(11111111_11111111_11111111_11111111)补
=(11111111_11111111_11111111_11111111)符号后移
但是即使这样，也是很难压缩的，因为数字绝对值越小，他所含的前导1越多。于是，这个算法就把负数的所有数据位按位求反，符号位保持不变，得到了这样的整数：
(-1)10
= (11111111_11111111_11111111_11111111)补
= (11111111_11111111_11111111_11111111)符号后移
= (00000000_00000000_00000000_00000001)zigzag
而对于非负整数，同样的将符号位移动到最后，其他位往前挪一位，数据保持不变。
(1)10
= (00000000_00000000_00000000_00000001)补
= (00000000_00000000_00000000_00000010)符号后移
= (00000000_00000000_00000000_00000010)zigzag
唉，这样一弄，正数、0、负数都有同样的表示方法了。我们就可以对小整数进行压缩了，对吧~
这两种case，合并到一起，就可以写成如下的算法：
整型值转换成zigzag值：
int int_to_zigzag(int n)
{
return (n << 1) ^ (n >> 31);
}
n << 1 :将整个值左移一位，不管正数、0、负数他们的最后一位就变成了0；
(1)10
= (00000000_00000000_00000000_00000001)补
左移一位 => (00000000_00000000_00000000_00000010)补
(-1)10
= (11111111_11111111_11111111_11111111)补
左移一位 => (11111111_11111111_11111111_11111110)补
n >> 31: 将符号位放到最后一位。如果是非负数，则为全0；如果是负数，就是全1。
(1)10
= (00000000_00000000_00000000_00000001)补
右移31位 => (00000000_00000000_00000000_00000000)补
(-1)10
= (11111111_11111111_11111111_11111111)补
右移31位 => (11111111_11111111_11111111_11111111)补
最后这一步很巧妙，将两者进行按位异或操作：
(1)10 =>
(00000000_00000000_00000000_00000010)补 ^
(00000000_00000000_00000000_00000000)补
= (00000000_00000000_00000000_00000010)补
可以看到最终结果，数据位保持不变，而符号位也保持不变，只是符号位移动到了最后一位
(-1)10 =>
(11111111_11111111_11111111_11111110)补 ^
(11111111_11111111_11111111_11111111)补
= (00000000_00000000_00000000_00000001)补
可以看到，数据位全部反转了，而符号位保持不变，且移动到了最后一位。
就是这一行代码，就将这个相对复杂的操作做完了，真是写的巧妙。
zigzag值还原为整型值：
int zigzag_to_int(int n)
{
return (((unsigned int)n) >> 1) ^ -(n & 1);
}
类似的，我们还原的代码就反过来写就可以了。不过这里要注意一点，就是右移的时候，需要用不带符号的移动，否则如果第一位数据位是1的话，就会补1。所以，代码里用了无符号的右移操作：(((unsigned int)n) >> 1)。在java代码里，对应的移位操作：n >>> 1。
好了，有了算法对数字进行转换以后，我们就得到了有前导0的另外一个整数了。不过他还是一个4字节的整数，我们接下来就要考虑怎么样将他们表示成尽可能少的字节数，并且还能还原。
比如：我们将1转换成(00000000_00000000_00000000_00000010)zigzag这个以后，我们最好只需要发送2bits（10），或者发送8bits（00000010），把前面的0全部省掉。因为数据传输是以字节为单位，所以，我们最好保持8bits这样的单位。所以我们有几种做法：
A、我们可以额外增加一个字节，用来表示接下来有效的字节长度，比如：00000001_00000010,前8位表示接下来有1个字节需要传输，第二8位表示真正的数据。这种方式虽然能达到我们想要的效果，但是莫名的增加一个字节的额外浪费。有没有不浪费的办法呢？
B、字节自表示方法。zigzag引入了一个方法，就是用字节自己表示自己。具体怎么做呢？我们来看看代码：
int write_to_buffer(int zz, byte* buf, int size)
{
int ret = 0;
for (int i = 0; i < size; i++)
{
if ((zz & (~0x7f)) == 0)
{
buf[i] = (byte)zz;
ret = i + 1;
break;
}
else
{
buf[i] = (byte)((zz & 0x7f) | 0x80);
zz = ((unsigned int)zz)>> 7;
}
}
return ret;
}
大家先看看代码里那个(~0x7f)，他究竟是个什么数呢？
(~0x7f)16
=(11111111_11111111_11111111_10000000)补
他就是从倒数第八位开始，高位全为1的数。他的作用，就是看除开最后七位后，还有没有信息。
我们把zigzag值传递给这个函数，这个函数就将这个值从低位到高位切分成每7bits一组，如果高位还有有效信息，则给这7bits补上1个bit的1（0x80）。如此反复 直到全是前导0，便结束算法。
举个例来讲：
(-1000)10
= (11111111_11111111_11111100_00011000)补
= (00000000_00000000_00000111_11001111)zigzag
我们先按照七位一组的方式将上面的数字划开：
(0000-0000000-0000000-0001111-1001111)zigzag
A、他跟(~0x7f)做与操作的结果，高位还有信息，所以，我们把低7位取出来，并在倒数第八位上补一个1(0x80)：11001111
B、将这个数右移七位：(0000-0000000-0000000-0000000-0001111)zigzag
C、再取出最后的七位，跟(~0x7f)做与操作，发现高位已经没有信息了（全是0），那么我们就将最后8位完整的取出来：00001111，并且跳出循环，终止算法；
D、最终，我们就得到了两个字节的数据[11001111, 00001111]
通过上面几步，我们就将一个4字节的zigzag变换后的数字变成了一个2字节的数据。如果我们是网络传输的话，就直接发送这2个字节给对方进程。对方进程收到数据后，就可以进行数据的组装还原了。具体的还原操作如下：
int read_from_buffer(byte* buf, int max_size)
{
int ret = 0;
int offset = 0;
for (int i = 0; i < max_size; i++, offset += 7)
{
byte n = buf[i];
if ((n & 0x80) != 0x80)
{
ret |= (n <<offset);
break;
}
else
{
ret |= ((n & 0x7f) << offset);
}
}
return ret;
}
整个过程就和压缩的时候是逆向的：对于每一个字节，先看最高一位是否有1(0x80)。如果有，就说明不是最后一个数据字节包，那取这个字节的最后七位进行拼装。否则，说明就是已经到了最后一个字节了，那直接拼装后，跳出循环，算法结束。最终得到4字节的整数。
4、总结
好了，整个算法就是差不多几十行，我们却用了几千字来描述他，这就是这个算法精妙的地方。
这个算法使用的基础就是认为在大多数情况下，我们使用的数字都是不大的数字，比如：book_id、comment_count等这种从几到几千数值的东东。那我们也能通过计算，得到每超过一个7位的信息以后，传输的字节数就会增加1。以至于，如果数字比较大的时候，原来4字节的数字还会变成5字节：
不过，在绝大多数情况下，小整数还是占主导的，所以整个算法才有了使用的基础。
好了，不知道老王有没有把这个算法讲清楚。如果没讲清楚，就来看代码吧（Talk is cheap, Show me the code）。
（注：这个代码是老王自己改写的，自己review了，貌似没有错误。如果大家觉得写的有问题，请指正。）
如果觉得c语言代码看起来不是很舒服，也可以去看thrift中java的源代码~